И.И. Асеев

Кинематика замечательных точек треугольника.

1

Введение.

 

В настоящей работе рассмотрим следующие три вида замечательных точек треугольника:

-  Базовые точки (обозначаются с индексом «0», таблица 1).

-  Точки «изогональные» базовым (зеркальные образы базовых точек, обозначаются с индексом «–1»). Данные точки образуются пересечением прямых, изогональным базовым. Напомним, две прямые, проходящие через вершину угла и образующие равные углы с биссектрисой угла, называются изогональными прямыми относительно сторон этого угла.

-  Точки «изотомические» базовым (сдвинутые образы базовых точек, обозначаются с индексом «+1»). Данные точки образуются пересечением прямых, изотомическим базовым. Две точки на стороне треугольника, равноудаленные от середины стороны, называются изотомическими точками. Две прямые, соединяющие вершину треугольника с изотомическими точками, лежащими на противоположной стороне, называются изотомическими.

Пример построения всех видов точек для центра тяжести периметра треугольника представлен на рисунках 1, 2, 3.

 

                                                                 Базовые точки                                             таблица 1.

п/п

Определение замечательной точки.

Обозначение базовой точки

Обозначение координат базовой точки

Обозначение координат «изотомической»  точки

Обозначение координат «изогональной» точки

1

Точка пересечения медиан

 (центр тяжести треугольника). 

G0

(x G0 ;y G0 )

(x G+1 ;y G+1 )

(x G-1 ;y G-1 )

2

Точка пересечения высот

(ортоцентр треугольника). 

О0

(x O0 ;y O0 )

(x O+1 ;y O+1 )

(x O-1 ;y O-1 )

3

Точка пересечения биссектрис углов треугольника.

 (интоцентр треугольника). 

I0

(x I0 ;y I0 )

(x I+1 ;y I+1 )

(x I-1 ;y I-1 )

4

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

 (экстацентр треугольника). 

M0

(x M0 ;y M0 )

(x M+1 ;y M +1 )

(x M -1 ;y M -1 )

5

Центр тяжести периметра треугольника (центр вписанной окружности  треугольника с вершинами в серединах сторон заданного треугольника).

S0

(x S0 ;y S0 )

(x S+1 ;y S+1 )

(x S-1 ;y S-1 )

6

Точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания сторон треугольника вписанной окружности (точка Жергона).

J0

(x J0 ;y J0 )

(x J+1 ;y J+1 )

(x J-1 ;y J-1 )

7

Точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания сторон треугольника соответственных вневписанных окружностей (точка Нагеля).

N0

(x N0 ;y N0 )

(x N +1 ;y N +1 )

(x N -1 ;y N -1 )

8

Точка пересечения описанных окружностей вокруг равносторонних треугольников построенных на сторонах заданного треугольника (точка Ферма, Торричелли, Штейнера).

T0

(x T0 ;y T0 )

(x T +1 ;y T +1 )

(x T -1 ;y T -1 )

9

Точка пересечения прямых, соединяющих центры вневписанных окружностей с серединами соответственных сторон заданного треугольника.

D0

(x D0 ;y D0 )

(x D +1 ;y D +1 )

(x D -1 ;y D -1 )

10

Точка пересечения прямых, соединяющих центры вневписанных окружностей с точками касания сторон треугольника вписанной окружности.

B0

(x B0 ;y B0 )

(x B+1 ;y B+1 )

(x B-1 ;y B-1 )

11

Точка пересечения прямых, проходящих через центры вневписанных окружностей перпендикулярно сторонам треугольника.

C0

(x C0 ;y C0 )

(x C+1 ;y C+1 )

(x C-1 ;y C-1 )

 

Построение базовой точки центра тяжести периметра треугольника S0.

 

Рис.1

 

 

Построение «изогональной» точки центра тяжести периметра треугольника S-1.

 

Рис.2

 

Построение «изотомической» точки центра тяжести периметра треугольника S+1.

 

Рис.3

 

1.1 Графическое построение траекторий движения замечательных точек.

В декартовой системе координат дан равносторонний треугольник  с координатами вершин:  где  r – радиус вписанной в треугольник окружности, точка является центром симметрии треугольника, рисунок 4. Напомним соотношения между площадью (S), стороной (a), высотой (h) и радиусом вписанной окружности (r) равностороннего треугольника:

 

 

 

Рис. 4

 

Примем следующие условия: вершины  жестко закреплены в точках заданных координат, а вершина   может свободно перемещаться вдоль оси ординат (Y) на всем интервале .

Таким образом, мы получаем кинематическую систему с одной степенью свободы, которая представляет собой бесконечное множество треугольников одинаковой площади, поскольку основание треугольника   и высота, опущенная на это основание, остаются неизменными (инвариантными) при перемещении вершины (рис.5). Точка  является началом построения всех траекторий движения замечательных точек. Все траектории движения точек зеркально симметричны относительно оси абсцисс, поскольку, и в положительном, и в отрицательном направлениях по оси ординат существует два конгруэнтных (зеркально симметричных) треугольника.

 

Рис.5

 

Те методы аналитической геометрии, которые использовал автор, дают очень громоздкие формулы большинства кривых и только в параметрическом виде, поэтому задача построения кривых в основном решена графическим методом, поэтому и большинство оценок кривых основано на графических приближениях.

 

1). Построение траекторий движения точек G0, G-1 (рис.6).

 

 

 

 

Рис.6

 

Траекторией движения точки G0 является прямая линия, проходящая через точку , параллельно оси ординат (сиреневый цвет). Траекторией точки G-1 является  эллипс, который на бесконечностях сходится к точке пересечения стороны с осью абсцисс (голубой цвет).

 

2). Построение траекторий движения точек I0, I+1 (рис.7).

 

 

Рис.7

 

Траекторией движения точки I0 является кривая, на бесконечностях приближающаяся к вершинам (синий цвет). Точки I+1 – кривая, на бесконечностях асимптотически приближающаяся к оси ординат (коричневый цвет).

 

3). Построение траекторий движения точек S0, S-1 (рис.8).

 

Рис.8

Траекторией движения точки S0 является кривая (зеленый цвет), на бесконечностях приближающаяся к вертикальной асимптоте, проходящей через точку (0; r), точки S-1 – овал (красный цвет), точки S+1 является кривая (сиреневый цвет), на бесконечностях приближающаяся к вертикальной асимптоте, проходящей через точки касания овала S-1 и сторон первичного равностороннего треугольника  и .

4). Построение траекторий движения точек O0, O-1, O+1, M0, M+1, M-1 (рис.9).

Рис. 9

Точки   O0 и M-1; M0 и O-1  попарно совпадают друг с другом.

Траекторией движения точки O0 = M-1 является парабола (красный цвет). Траекторией движения точки M0 = O-1  является луч с началом в точке и уходящий вдоль оси абсцисс на отрицательную бесконечность (зеленый цвет). Траекторией движения точки O+1 является кривая с петлёй (коричневый цвет) на бесконечностях асимптотически приближающаяся к оси ординат. Траекторией движения точки M+1 является кривая имеющая разрыв 2-го рода (синий цвет) на бесконечностях асимптотически приближающаяся к оси ординат, разрыв кривой происходит в равнобедренном треугольнике с углом при вершине  в 1200.

5). Построение траекторий движения точек T0, T-1, T+1 (рис.10).

 

 

Рис. 10

 

Траекторией движения точки T0 является окружность диаметром 4r (сиреневый цвет), проходящую через вершины , на бесконечностях приближающаяся к точке с координатами (6 r ; 0). Траекторией движения точки T-1  является окружность диаметром 2r (коричневый цвет), на бесконечностях приближающаяся к вершине . Траекторией движения точки T+1 является кривая (зеленый цвет), на бесконечностях асимптотически приближающаяся к оси ординат.

 

6). Построение траекторий движения точек T0, T-1, T+1 (рис.11).

 

 

Рис. 11

 

Траекторией движения точки C0  является парабола (голубой цвет). Траекторией движения точки С-1  является парабола (зеленый цвет). Траекторией движения точки С+1 является кривая имеющая разрыв 2-го рода (красный цвет) на бесконечностях асимптотически приближающаяся к оси ординат, разрыв кривой происходит в треугольнике с углом при вершине  примерно 870 30.

 

7). Построение траекторий движения точек D0, D-1, D+1, B0, B+1, B-1 (рис.12).

 

 

 

Рис. 12

Точки   D0 и B-1; B0 и D-1  попарно совпадают друг с другом.

Траекторией движения точки D0 = B-1 является кривая (темно-синий цвет), на бесконечностях приближающаяся к вертикальной асимптоте, проходящей через точку (1,5r; 0). Траекторией движения точки B0 = D-1  является кривая (зеленый цвет), на бесконечностях приближающаяся к вершинам  (снизу рис.13). Траекторией движения точки B+1 является кривая с петлёй (желтый цвет) на бесконечностях асимптотически приближающаяся к оси ординат. Траекторией движения точки D+1 является кривая (сиреневый цвет) на бесконечностях приближающаяся к вершинам  (сверху рис.13).

 

 

Рис. 13

 

 

8). Построение траекторий движения точек N0, N-1, N+1, J0, J+1, J-1 (рис.14).

 

Рис. 14

Точки   N0 и J+1; J0 и N+1  попарно совпадают друг с другом. Траекторией движения точки N0 = J+1; является кривая (зеленый цвет), на бесконечностях асимптотически приближающаяся к оси ординат. Траекторией движения точки J0 = N+1  является кривая (синий цвет), на бесконечностях приближающаяся к вершинам  (сверху  рис.15). Траекторией движения точки N-1 является кривая (сиреневый цвет) на бесконечностях приближающаяся к вершинам  (снизу рис.15). Траекторией движения точки J-1 является кривая (красный цвет) на бесконечностях приближающаяся к вершинам  (сверху рис.15).

 

 

Рис. 15

 

 

1.2 Соотношения между замечательными точками треугольника.

 

Напомним, прямая проходящая через ортоцентр (O0(M-1)) и центр описанной окружности (M0(O-1)) произвольного треугольника называется прямой Эйлера. На этой прямой между вышеназванными точками лежит точка центра тяжести (G0) треугольника.

Для исследуемых в настоящей работе замечательных точек треугольника, приведем аналоги «прямых Эйлера» (таблица 2).

 

                                                                                 таблица 2

Точки, лежащие на одной прямой.

Число точек

1

C0*M0(O-1)*J-1*I0*B0(D-1)*N-1

6

2

O+1* T+1* G0* S+1 * G-1

5

3

J0 (N+1) * D+1* I+1* N0(J+1) * O+1

5

4

C0*D0(B-1)*S0*O0(M-1)

4

5

B0(D-1)* J0 (N+1) * G0 * D0(B-1)

4

6

I0*G0 *S0* N0(J+1)

4

7

O0(M-1)* G0 * M0(O-1)

3

8

C+1 * M+1* D+1

3

9

C+1 * B+1* O+1

3

10

O0(M-1)* M+1* O+1

3

11

C0 * N0 (J+1) * C-1

3

12

O0(M-1)* S0 * D0(B-1)

3

13

N-1* J0 (N+1) * S+1

3

14

B+1 * I+1* G0

3

15

I0* S+1 * I+1

3

 

 

Ниже приводятся найденные соотношения между точками некоторых прямых.

 

1. Для произвольного треугольника, точки прямой  I0*G0 *S0* N0(J+1) находятся в гармоническом отношении и справа налево, и слева направо (точка J+1 совпадает с точкой N0), то есть:

 

Так как:

 

 

 

2. Для произвольного треугольника, у прямой  C0*D0(B-1)*S0*O0(M-1), точка S0 является серединой (точка D0 совпадает с точкой B-1, а точка J+1 совпадает с точкой N0), то есть:

 

 

3. Прямая  O0(M-1)* G0 * M0(O-1), есть прямая Эйлера, со всеми её свойствами (точка O0 совпадает с точкой M-1, а точка M0 совпадает с точкой O-1).

 

4. Для произвольного треугольника, у прямой  B0(D-1)* J0 (N+1) * G0 * D0(B-1) точки D0(B-1), G0 и J0 (N+1) (точка B0 совпадает с точкой D-1, а точка J0 совпадает с точкой N+1) находятся в следующем отношении:

 

 

5. Для произвольного треугольника, у прямой  O+1* T+1* G0* S+1 * G-1 точки O+1, G0 и J0 G-1 находятся в следующем отношении:

 

 

6. Для произвольного треугольника, у прямых   C+1 * M+1* D+1;   C+1 * B+1* O+1;    O0(M-1)* M+1* O+1  расположение точек на прямой меняется на: M+1* C+1 * D+1;   C+1 * O+1*B+1 ;   O0(M-1)* O+1* M+1, поскольку кривые  M+1 и C+1 терпят разрыв (рис. 9, 11).

 

Целью данной работы было показать неисчерпаемость свойств внутренней структуры треугольника, связь между кинематикой точек Чевы треугольника и алгебраическими кривыми различных порядков.

 

 

Сайт управляется системой uCoz

 



Сайт управляется системой uCoz