Алгебра степенных операторов

И.И. Асеев

1. Степенные операторы и закон их умножения.

Степенным оператором называется выражение вида:

                  (1)


где:  r — аргумент оператора;  n — элемент подстановки; ais(n),..., aih(n) — множители при аргументе raij(n) — показатель степени аргумента r.

Число множителей  ais(n),..., aih(n) при аргументе r, может быть сколь угодно много, но оно конечное. Выражения aij(n), ais(n),..., aih(n) являются произвольными комплексными подстановками первой степени Алгебра комплексных подстановок:

 

             

  (2)




Или, в упрощенном виде, их можно представить восьмипозиционными числовыми таблицами:

 

                            (3)

 


Тогда выражение (1) примет вид:

                          (4)

 


Другими словами, степенной оператор – это алгебраический элемент содержащий одну комплексную подстановку в виде показателя степени и произвольное число комплексных подстановок в виде множителей при аргументе r.

 

Определение операции умножения степенных операторов.

 

Для любых двух  операторов вида:  и   , определяется операция умножения, которая обозначается символом  “* и заключена в следующем: первый из указанных операторов называется – «действующим», второй – «пассивным», показатель степени aij(n)  при аргументе r  действующего оператора  подставляется вместо всех элементов подстановки n пассивного оператора и полученное выражение умножается на множители при параметре r действующего оператора aih(n).

 

                                                                         (5)

 

Представим определенную выше операцию умножения двух степенных операторов в табличном виде.

Пусть даны две оператора:



Результатом их умножения будет оператор :

 




Числовые значения таблиц результирующего оператора Ic выражаются через числовые значения таблиц исходных (действующего Iа и пассивного Ib ) операторов следующими соотношениями:

 

                   (7)

 



В соотношениях (7) операции сложения и умножения определенные для поля комплексных чисел. Если все полученные числовые значения каждой из таблиц ,  и  кратны какому-либо натуральному числу, то необходимо сокращать их на это число. То есть, после выполнения преобразований (7) сокращать числители и знаменатели комплексных подстановок , можно только на натуральное число, так как сокращение на любое другое целое (комплексное) число ведет к потере понятия «сопряженные элементы», о котором говорится ниже и порождает неопределенность операции умножения алгебры комплексных подстановок

 

Примеры умножения степенных операторов:

Пусть, , тогда:



1 действие:  По определению операции умножения степенных операторов, вместо всех элементов n пассивного оператора подставляется показатель степени  при аргументе r  действующего оператора и полученное выражение умножаем на множитель при параметре r действующего оператора.

 .

 



2 действие: В последующих прееобразованиях используются обычные операции с комплексными числами (умножение, сложение, раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю...)

 

 



3 действие: Сокращаем числитель и знаменатель показателя степени полученного оператора на 2 и окончательно получаем:

 

 



Это способ прямой подстановки операции умножения двух операторов, такой же результат можно получить, используя числовые таблицы и соотношения (7).

 

Сопряженные операторы.

 

Любой степенной оператор имеет   сопряженных с ним степенных оператора, где m – число комплексных подстановок содержащихся в степенном операторе, а как определено было в алгебре комплексных подстановок, каждая комплексная подстановка имеет три сопряженные с ней комплексные подстановки. Напомним: сопряженными называются комплексные подстановки, которые образуются путем последовательного умножения и числителя, и знаменателя базовой подстановки на мнимую единицу.

Например, пусть постановка  является базовой (индекс сопряжения k = 0), тогда

 

Таким образом, четыре подстановки  являются сопряженными.



––   Базовая 1(0) - индекс сопряжения k = 0,

––   « i » - сопряженная к базовой 1(1) - индекс сопряжения k = 1,

––   « i2 » - сопряженная к базовой 1(2) - индекс сопряжения k = 2,

––   « i3 » - сопряженная к базовой 1(3) - индекс сопряжения k = 3.

Выбор базовой подстановки является произвольным.

Возьмем еще одну комплекную подстановку, например, , сопряженные к ней будут

Составим из этих комплексных подстановок степенной оператор. Пусть , тогда базовый степенной оператор примет вид:


Число сопряженных операторов равно 42-1=15:

 

 





Определение алгебры.

 

Алгебра степенных операторов содержит группы, полугруппы, моноиды (конечные и бесконечные). Поэтому её можно классифицировать как группоид- универсальная алгебра с одной бинарной операцией  ( I, *). Единичным (нейтральным) элементом алгебры относительно определенной операции умножения является оператор:

 или в сокращенном виде:

 


Обозначение степенных операторов.

 

Степенные операторы будут обозначаться большими латинскими буквами, в зависимости от принадлежности к той или иной структуре(конечной или бесконечной) к буквам будут добавляться индексы, то есть обозначение степенных операторов всегда будет оговариваться, возможны случаи когда один и тот же степенной оператор в разных структурах будет обозначаться по разному. При необходимости в обозначении к большой латинской букве будут добавлятся скобки, в которых через запятую будут обозначаться индексы сопряжения комплексных подстановок, содержащихся в степенном операторе, в следующем порядке – на первом месте индекс сопряжения комплексной подстановки являющейся показателем степени, на втором, третьем и т.д. комплексные подстановки являющиеся множителями при аргументе оператора r справа налево. Например: ,

где:  0 – индекс сопряжения комплексной подстановки , 5 – индекс сопряжения комплексной подстановки , 12 – индекс сопряжения комплексной подстановки , 2 – индекс сопряжения комплексной подстановки .


 

Алгебра степенных операторов - обобщение дифференциально-интегрального исчисления.

 

Алгебра степенных операторов является естественным обобщением существующего в математике дифференциально-интегрального исчисления.

Если абстрагироваться от множества приложений дифференциально-интегрального исчисления и выделить первичные элементы данной алгебры, то очевидным становится следующее — вся алгебра базируется на трех элементах: взаимообратных дифференциального и интегрального операторов ,   и обобщенной степенной функции  , которая является

единичным(нейтральным) элементом данной алгебры. В современном анализе дифференциальный и интегральный операторы это некие процедуры, которые можно производить над обобщенной степенной функцией, то есть отображать одно множество функций в другое, с другой стороны по приведенному выше определению вместе с обобщенной степенной функцией, они являются степенными операторами, то есть алгебраическими элементами с определенной выше операцией умножения, введем другие обозначение этих объектов:   

 - верхний индекс означает идентификационный номер ряда операторов, нижний местоположение оператора в ряду операторов данной группы, в скобках определены индексы сопряжения комплексных подстановок, содержащихся в степенном операторе, первый индекс показателя степени, второй множителя при аргументе оператора r, так как индексы нулевые, то данные операторы выбраны как базовые.

Если последовательно умножать операторы  на самих себя получим двусторонний ряд операторов, в упрощенном виде данный ряд выглядит следующим образом:

      (8)



Легко проверить, выполнение равенства:

               (9)

Данный ряд операторов является бесконечной абелевой группой.

 

Определим сопряженные операторы операторам ,

Для оператора :

           (10)





Для оператора :

             (11)





Найдем соответствие между операторами (10) и (11):

       (12)



Из каждой пары операторов в (12) можжно получить двусторонние бесконечные ряды операторов изоморфные ряду (8).

Более подробное исследование двусторонних бесконечных рядов операторов приведено на страницах  part-63.html  part-64.html  part-65.html  

Для оператора  сопряженные подстановки имеют вид:

    (13)





Полученные шестнадцать операторов представляют собой конечную комутативную группу порядка 16.

Введем в рассмотрение оператор , он также имеет 15 сопряженных ему операторов, если эти операторы дабавить к операторам (13), то получим конечную группу порядка 32.



Современная математика базируется только на числовых и функциональных системах (алгебрах), операторы в этих системах играют, грубо говоря, роль некой процедуры («посредников действия»), к примеру, переводят одно множество функций в другое, или одно векторное пространство в другое и т.п. Алгебра степенных операторов является обобщением числовых и функциональных алгебр, а лучше сказать, завершением построения единой математической системы, включающей в себя операторные, функциональные и числовые подсистемы.  Операторная система является первичной (производящей), собственно, она и есть структурный Универсум всей математической системы, так как образует все возможные виды конечных и бесконечных алгебраических структур, формирует операторное пространство Универсума. Вторичными (производными) являются функциональная система и числовая система (в частном случае, множество комплексных чисел). Функциональная и числовая системы являются вторичными, поскольку образуются из операторной системы по определенным правилам, которые в первом случае «превращают» оператор — в функцию (путем подстановки любого числа в выражение степенного оператора вместо элемента подстановки n); во втором, оператор — в числовое выражение (путем подстановки вместо аргумета оператора r, любого числа, а элемент подстановки n определить как число). Другими словами, степенные операторы являются чисто подстановочными алгебраическими объектами и определяют только структурные свойства того или иного группоида алгебры, чтобы изучать функциональные свойства группоида или получать числовые значения, необходимо от операторов переходить к функциональным и числовым выражениям...

 

Нижеследующие страницы по алгебре степенных операторов написаны более 10  лет назад и требуют существенной переработки в плане единой формализации алгебры, но представленные там результаты, в какой то степени отражают возможности данной алгебры.
Алгебра комплексных подстановок
   является подалгеброй алгебры степенных операторов.

 

 


 




Сайт управляется системой uCoz