Алгебра комплексных сопряженных подстановок.

И.И. Асеев

1. Введение в алгебру.

1

1. Введение.

 

Введем в рассмотрение бесконечно сложную структуру в виде алгебраической степенной формы:

(1)

где – произвольные комплексные числа; n – элемент подстановки;

Отношение бесконечно сложной структуры (1) к себе собой будем называть обобщённой степенной комплексной подстановкой:

 

(2)

 

где n – элемент подстановки; – произвольные комплексные числа; S – порядковый номер подстановки.

Простейшими из них будут - вырожденные (числовые) комплексные подстановки; m, s = 0:

И комплексные подстановки первой степени; m, s = 1.

Для обобщённой степенной комплексной подстановки (2) справедливо отношение включения:

 

1.1 Определение комплексных подстановок первой степени и операции их умножения.

 

Комплексной подстановкой первой степени называется выражение вида:

(3)

где n1 – элемент подстановки в первой степени; – элемент подстановки в нулевой степени; – произвольные комплексные числа; S – порядковый номер подстановки (натуральное число), k – индекс сопряжения.

 

Для любых двух комплексных подстановок: определяется операция умножения, которая обозначается символом “ * ” и заключена в следующем: одна из двух комплексных подстановок называется – «действующей» (левой), вторая – «пассивной» (правой), всё алгебраическое выражение действующей комплексной подстановки подставляется вместо всех элементов подстановки n пассивной комплексной подстановки.

В символическом виде первой пишется действующая подстановка, затем знак умножения, пассивная подстановка, знак равенства и преобразованный результат.

Пусть действующая подстановка, пассивная подстановка, тогда –

(4)

В дальнейших записях алгебраических выражений комплексных подстановок запись элемента подстановки в нулевой степени производиться не будет, кроме случаев вырожденных числовых комплексных подстановок, а также не будет указываться степень элемента подстановки первой степени.

 

Любая комплексная подстановка имеет три сопряженные с ней комплексные подстановки. Сопряженными называются подстановки, которые образуются путем последовательного умножения и числителя, и знаменателя базовой подстановки на мнимую единицу.

Например, пусть постановка является базовой (индекс сопряжения k = 0), тогда

 

Таким образом, четыре подстановки являются сопряженными.

–– Базовая 1(0) - индекс сопряжения k = 0,

–– « i » - сопряженная к базовой 1(1) - индекс сопряжения k = 1,

–– « i2 » - сопряженная к базовой 1(2) - индекс сопряжения k = 2,

–– « i3 » - сопряженная к базовой 1(3) - индекс сопряжения k = 3.

Выбор базовой подстановки является произвольным.

 

Специальные и вырожденные комплексные подстановки обозначаются малыми латинскими буквами, например:

 

1.2 Правила алгебраических преобразований над комплексными подстановками.

 

После выполнения операции умножения двух комплексных подстановок, возникает необходимость алгебраического преобразования полученного результата.

 

Подробный разбор примера:

Пусть действующая подстановка, пассивная подстановка, тогда:

1 действие: По определению операции умножения, вместо всех элементов подстановки n пассивной подстановки подставлена действующая подстановка.

2 действие: Привели выражения в числителе и знаменателе основной дроби к общим знаменателям.

 

3 действие: Сократили знаменатели числителя и знаменателя основной дроби.

 

4 действие: Раскрыли скобки и привели подобные.

 

 

5 действие: Вынесли число 2 за скобку в числителе и знаменателе, сократили на это число и получили результат.

 

Любая комплексная подстановка это дробь, числитель и знаменатель которой, можно сокращать на знаменатель действующей подстановки (3 действие) и только на натуральное число кратное числителю и знаменателю (5 действие). Например, нельзя сокращать числитель и знаменатель комплексной подстановки на множители вида и т.п., где m – натуральное число. А также, нельзя сокращать числитель и знаменатель комплексной подстановки на множители, включающие в себя элемент подстановки n.

Если дополнительно ввести запрет на сокращение одинакового натурального множителя (число) в числителе и знаменателе (5 действие), то в этом случае, при дальнейшем умножении комплексных подстановок, будет нарастать степень одинакового натурального множителя и в числителе, и в знаменателе комплексной подстановки и, по сути, в такой алгебре будет отсутствовать многообразие конечных структур.

Если снять запреты сокращения числителя и знаменателя на одинаковые числовые множители или множители, включающие в себя элемент подстановки, то получим спекулятивные алгебры, где выбранный вид сокращения влияет на свойства получаемых алгебраических структур (групп). Кроме того, в данных алгебрах появляются структуры, в которых нарушается свойство ассоциативности.

 

1.2.1 Представление комплексных подстановок в виде числовых таблиц.

 

Представим формулу (3) в развернутом виде:

(5)

 

Где: n – элемент подстановки; ; .

В упрощенном виде комплексные подстановки удобно представлять в виде следующей числовой таблицы:

(6)

 

Где верхняя строка соответствует числителю комплексной подстановки, нижняя строка – знаменателю. При этом необходимо соблюдать принятый порядок записи членов входящих в подстановку.

Примеры записи подстановок в табличном виде:

Представим определенную выше операцию умножения двух комплексных подстановок в табличном виде.

Пусть даны две комплексные подстановки:

В результате их умножения получается третья комплексная подстановка :

Числовые значения таблицы результирующей подстановки выражаются через числовые значения таблиц исходных (действующей и пассивной) подстановок следующими соотношениями:

(7)

Если все полученные числовые значения кратны какому-либо натуральному числу, то необходимо сокращать их на это число.

Вернемся к примеру разобранному выше (пункт 1.2), исходными данными были: действующая подстановка, пассивная подстановка, в результате умножения и преобразований была получена подстановка . Произведем операцию умножения табличным способом:

 

По формулам (7) находим числовые значения искомой подстановки:

 

Поскольку все полученные числовые значения кратны 2, сокращаем на 2 и окончательно получаем:

 

Что совпадает с вышенайденным результатом.

 

 

1.3 Определение алгебры.

 

Алгебра сопряженных комплексных подстановок строится на трех исходных положениях:

 

– Определение комплексной подстановки и сопряженных комплексных подстановок.

– Определение операции умножения и правил преобразования комплексных подстановок.

– Определение базовых комплексных подстановок, перемножение которых между собой и с вновь получаемыми подстановками дает бесконечный Универсум (U) комплексных подстановок алгебры.

Алгебра сопряженных комплексных подстановок содержит группы, полугруппы, моноиды (конечные и бесконечные). Поэтому её можно классифицировать как - универсальная алгебра с одной бинарной операцией .

 

1.4 Обобщённая алгебра степенных подстановок

 

Если в отношении (2) вместо комплексных чисел ввести другие математические объекты (матрицы, кватернионы, октавы, функции и т.п.). То, соответственно, можно определить другие алгебраические «подстановочные» системы.

 

1.5 Обозначение группоидов алгебры.

 

Любой конечный группоид (группа, полугруппа, моноид) будет обозначаться следующим символом:

(8)

 

Где, N – порядок группоида; h – разновидность группоида; k – коммутативность группоида (k = 0 – коммутативный, k = 1 – некоммутативный);

u тип группоида (u = 0 – группа, u = 1 – полугруппа, u = 2 – моноид); m – порядковый номер подгруппоида в каком либо алгебраическом группоиде;

1, 2, 3,…, n - множество комплексных подстановок из которых состоит группоид.

Например, в теории групп существует всего две группы порядка 4: циклическая (группа поворота квадрата) и «клейновская группа» , первую будем обозначать , вторую . Или, нулевая правая полугруппа порядка 6: ; нулевая левая полугруппа порядка 3: . И так для всех видов конечных группоидов любых порядков. Конечные полугруппы, включающие в себя и полугруппы, и группы, условно будут называться смешанными.

Обозначение бесконечных структур будет оговариваться специально.

 

1.6 Классификация комплексных подстановок.

 

Комплексные подстановки подразделяются на два класса: базовые и производные, которые в свою очередь могут быть собственные и вырожденные.

Базовые комплексные подстановки определены в следующем параграфе 1.7. Полное множество базовых комплексных подстановок представлено в (приложении) .

Из базовых подстановок выделено множество образующих подстановок. Все образующие подстановки являются собственными (часть 2)

Собственные комплексные подстановки подразделяются на три вида: базовые, производные и специальные производные (часть 3)

Вырожденные комплексные подстановки являются базовыми, подразделяются на три вида: числовые, кратные и неопределенные (часть 4)

 

1.7 Абстрактное пространство комплексных подстановок.

 

«Геометрически» абстрактное пространство комплексных подстановок можно представить следующим образом:

Как было определено формулой (5), любая комплексная подстановка это дробь, в числитель и знаменатель которой могут входить максимум по четыре слагаемых:

(5)

Где: n – элемент подстановки; ; .

Если положить значения числовых множителей равными {-1; 0; 1}, то получим множество базовых (условно говоря, ортонормированных) комплексных подстановок, общее число которых равно 6400. Покажем это,

 

 

Таким образом, возможное число из одного слагаемого в подстановке (в числителе или знаменателе) равно 8, из двух слагаемых – 24, из трех– 32, из четырех– 16.

Тогда общее число базовых подстановок будет равно:

 

8*8+24*24+32*32+16*16+8*24*2+8*32*2+8*16*2+24*32*2+24*16*2+32*16*2=6400

 

В общем случае базовую подстановку из максимального числа слагаемых можно представить в виде:

Базовые слагаемые комплексной подстановки можно трактовать как орты (состояния), которые её определяют. Их можно разбить на два множества:

Каждое из этих множеств, представляет собой циклическую группу порядка 4 (изоморфную группе поворота квадрата), графически это можно представить рисунком 1:

 

Рис. 1.

Таким образом, умножение двух комплексных подстановок можно представлять как отображение - комбинированного комплексного пространства в само себя:

 

 

Полное множество базовых комплексных подстановок представлено в (приложении) .

 

 

 


 



Сайт управляется системой uCoz