Структура гармонической последовательности.

И.И. Асеев

Структура гармонической последовательности.

1.1 Кинематическая модель отражения произвольного треугольника относительно своих вневписанных окружностей.

 

Любой треугольник конечной (ненулевой) площади евклидовой геометрии имеет три вневписанных окружности. Если провести касательные ко всем вневписанным окружностям (внешне соединяющие их) произвольного треугольника, то на пересечении касательных образуется новый треугольник.

Необходимо найти соответствие между углами исходного (базового) треугольника и углами полученного треугольника на пересечении касательных.

Очевидно, что к полученному треугольнику (первой итерации), можно также построить вневписанные окружности, касательные к ним и получить на пересечении касательных новый треугольник (второй итерации) и так до бесконечности…

В результате исследования данной кинематической модели были получены следующие результаты:

1). Для любого остроугольного треугольника (рис. 1):

 

 

Рис. 1  

Базовый (исходный) произвольный остроугольный треугольник 123 (синий цвет). Треугольник первой итерации 1’2’3’ (красный цвет)

 

2). Для любого тупоугольного треугольника (рис. 2):

Где, - тупой угол базового треугольника,  - острые углы базового треугольника.

Рис. 2  

Базовый (исходный) – тупоугольный произвольный треугольник 123 (синий цвет). Треугольник первой итерации 1’2’3’ (красный цвет)

 

3). Для любого прямоугольного треугольника (рис. 3):  

 

Рис. 3  

Базовый (исходный) – прямоугольный произвольный треугольник 123 (синий цвет). Вырожденный треугольник 1’2’3’ (красный цвет) бесконечной площади с параллельными сторонами.

 

4. Помимо рассмотренных треугольников, возможен случай предельного треугольника, который отражается в самого себя. У данного треугольника две стороны равны (совпадают) третьей, углы:    (рис.4).

 

Рис. 4  

Вырожденный  предельный треугольник нулевой площади.

 

 

1.2 Дискретная рекуррентная угловая функция.

 

Из данной модели получаем следующую рекуррентную дискретную угловую функцию, справедливую для любого угла остроугольного треугольника, тупого угла тупоугольного треугольника и прямого угла прямоугольного треугольника:

 

 

Где, - угол (в радианах) исходного (базового) произвольного треугольника, - соответствующий угол полученного треугольника первой итерации, в результате геометрического преобразования.

 

1.3 Дискретная рекуррентная числовая функция.

 

Абстрагируясь от геометрического происхождения функции (1), перейдем к следующей числовой функции (заменяя число  натуральной единицей):

 

 

Где, - произвольное исходное (базовое) положительное рациональное число, находящееся в пределах единичного отрезка [0,1],

- число следующей итерации.

 

На простом примере покажем, как действует данная функция.

Возьмем число 1/21 и подставляем его в выражение функции в соответствии с интервалом   :

1-я итерация: 1 – (2*1)/21 = 19/21, полученное число опять подставляем в заданную функцию в соответствии с интервалом   :

2-я итерация: (2*19)/21 – 1 = 17/21, полученное число опять подставляем в заданную функцию в соответствии с интервалом   :

3-я итерация: (2*17)/21 – 1 = 13/21, полученное число опять подставляем в заданную функцию в соответствии с интервалом   :

4-я итерация: (2*13)/21 – 1 = 5/21, полученное число опять подставляем в заданную функцию в соответствии с интервалом   :

5-я итерация: 1 – (2*5)/21 = 11/21, полученное число опять подставляем в заданную функцию в соответствии с интервалом   :

6-я итерация: 1 – (2*11)/21 = 1/21.

 

Таким образом, мы получили замкнутый цикл, начали с числа 1/21, к нему же и пришли, дальнейшая подстановка в заданную функцию будет порождать бесконечную циклическую цепочку, в приведенном примере состоящую из пяти звеньев.

Для удобства, числа обратные натуральным числам будем называть гармоническими. Гармоническое число, у которого знаменатель является четным числом, будем называть гармоническим четным числом, если знаменатель – нечетный, то гармоническим нечетным числом. Гармоническое число, у которого знаменатель является простым числом, будем называть простым гармоническим числом.

Конечную последовательность упорядоченных чисел:   , будем называть периодом гармонического числа 1/p0, где k – количество членов начальных итераций неустановившегося режима периода, t – число членов (размер) установившегося периода. Периоды, у которых k = 0, будем называть регулярными, в противном случае – нерегулярными. В регулярном периоде период начинается с базового числа. В нерегулярный период базовое число не входит.

В рассмотренном примере:   , базовое число – 1/21, число членов неустановившегося режима равно нулю, размер периода равен шести, является регулярным.

 

Приведем ещё один пример.

Возьмем число 1/28 и подставляем его в выражение функции в соответствии с интервалом   :

1-я итерация: 1 – (2*1)/28 = 26/28, полученное число опять подставляем в заданную функцию в соответствии с интервалом   :

2-я итерация: (2*26)/28 – 1 = 24/28, полученное число опять подставляем в заданную функцию в соответствии с интервалом   :

3-я итерация: (2*24)/28 – 1 = 20/28, полученное число опять подставляем в заданную функцию в соответствии с интервалом   :

4-я итерация: (2*20)/28 – 1 = 12/28, полученное число опять подставляем в заданную функцию в соответствии с интервалом   :

5-я итерация: 1 – (2*12)/28 = 4/28, полученное число опять подставляем в заданную функцию в соответствии с интервалом   :

6-я итерация: 1 – (2*4)/28 = 20/28.

Таким образом, получили замкнутый цикл, поскольку число 20/28 уже присутствовало в предыдущей третьей итерации, дальнейшая подстановка в заданную функцию будет порождать бесконечную циклическую цепочку, в приведенном примере состоящую из трех звеньев.

В рассмотренном примере:   , базовое число – 1/28, число членов неустановившегося режима равно двум – , размер установившегося периода равен трем, представляют числа – , период нерегулярный.

 

Любое гармоническое число, относительно функции (2) имеет «конечный» размер периода, величина и структура которого зависят от свойств этого числа.

 

1.4  Числовая дискретная функция, как порождающая процедура внутренней структуры гармонической числовой последовательности.

 

Опишем посредством функции (2) гармоническую числовую последовательность . Комментарии к нижеследующей таблице: верхняя строка означает номера итераций (зеленый цвет), первый столбец (синий цвет) – знаменатель дроби базового числа, числа стоящие внутри таблицы – числители дроби соответствующие знаменателям в строке, кроме чисел вида , у которых в периодах после нуля идут целочисленные единицы. В следующем столбце, после базового числа дается период этого числа в виде . Таким образом, каждая строка таблицы, это бесконечная циклическая цепочка периода базового числа, знаменатель которого стоит в первом столбце. Внутри таблицы красным цветом отмечены точки, на которых период заканчивается. Строки, которые заканчиваются многоточием (в 35 столбце) означают незаконченный период гармонического числа в данной таблице (то есть их период больше 35). Каждый член гармонической последовательности подставляем в функцию (2) как базовое число, получаем следующую таблицу, которую будем называть структурой гармонической числовой последовательности, которая вправо и вниз простирается до бесконечности:

Структура гармонической последовательности (от , до ), таблица 1. (начало)

Структура гармонической последовательности (от , до ), таблица 1. (продолжение)

Структура гармонической последовательности (от , до ), таблица 1. (продолжение)

Структура гармонической последовательности (от , до ), таблица 1. (окончание)

 

Анализ таблицы 1 дает возможность классифицировать гармонические числа по свойствам их периодов:

 

1. Особые числа – числа, период которых равен одному.

 

1.1  Имеется всего два числа с регулярными периодами равными одному, это 1/1 и 1/3:

1.2 «Чисто» четные числа вида , то есть знаменатель числа не содержит нечетные множители, только двойку и её натуральные степени. У этих чисел нерегулярный период, кроме того только у этих чисел в периодах присутствует нуль и только один раз. Примеры периодов данных чисел

1.3 Четные числа вида

Численно периоды всех чисел равны 1/3, если сократить дроби.

Таким образом, особые числа определяются двумя обобщенными формулами:

При n = 0, имеем два числа с регулярным периодом, остальные имеют нерегулярный период. Число 1/1 можно представить как: . Отметим «двойственность» этого числа: с одной стороны, это первое из нечетных чисел, с другой – нулевая степень двойки (первого четного числа), кроме того период единицы отличается от периодов чисел вида  только регулярностью, а численно идентичен (равен целочисленной единице). Другими словами, в данном случае, единицу можно трактовать, как единое начало «четности» и «нечетности». То есть, она является и четным, и нечетным гармоническим числом.

 

Отметим, что особые числа, это выделенный класс гармонических чисел.  Они определяют эволюцию всей структуры таблицы 1 («сверху – вниз» и «снизу – вверх»  от этих чисел), о чем будет сказано ниже.

 

2. Нечетные гармонические числа – числа, имеющие регулярный период, базовое число является первым членом периода.

На примере посмотрим, что представляет собой период нечетных гармонических чисел:

 

 

Рис.5

 

Здесь надо обратить внимание на появление минимумов и максимумов в структуре периодов гармонических чисел, которые являются следствием перехода итерации при образовании периода через критическую точку q=1/2 функции (2). В каком то смысле, периоды гармонических чисел можно интерпретировать как последовательный набор частот, определяющих структуру каждого гармонического числа. Подробное исследование периодов нечетных гармонических чисел будет дано ниже.

 

3. Четные гармонические числа – числа, имеющие нерегулярный период, базовое число не является числом, входящим в размер периода.

 Например:

 

 

Рис.6

В данном случае первые два числа (k = 2) и само базовое гармоническое число  не входят в период, а сам период    состоит из двух чисел (t = 2). Обратим также внимание, на то, что в числителях периодов четных чисел, кроме чисел вида , никогда не появляется единица (если не сокращать дроби).

Периоды четных гармонических чисел однозначно зависят от периодов нечетных гармонических чисел, являющихся их делителями.

Например, расмотрим периоды чисел 1/15, 1/30, 1/60, 1/120,…,  :

 

Очевидно, что с увеличением степени двойки обобщенного числа , увеличивается нерегулярность периодов данных чисел (k = n).

При этом размер периода не изменяется (t = 4). А числители и знаменатели чисел входящих в размер периодов удваиваются. То есть периоды всех чисел вида , однозначно зависят от периода числа 1/15, а при сокращении дробей равны ему. Поскольку любое четное число можно разложить на произведение нечетного числа и , то основной задачей данной работы является нахождения закона(ов) образования периодов нечетных гармонических чисел.

 

1.5  Роль особых гармоничексих чисел.

 

Вернемся к особым гармоническим числам.  Произведем анализ таблицы 1 не построчно (слева-направо), а по столбцам (сверху-вниз и снизу-вверх  от особых чисел).

Рассмотрим числа вида , если посмотреть на первые столбцы таблицы, то мы видим, что с чисел 1/2 (первый столбец) , 1/4  (второй столбец), 1/8 (третий столбец), 1/64 (четвертый столбец)  … вниз и вверх по таблице числители нижеследующих и вышеследующих чисел возрастают в порядке возрастания натурального ряда. Таким образом, появление каждого числа вида  влияет на размер периода нижеследующих чисел.

Теперь обратим внимание на эволюцию таблицы вверх по столбцам от особых чисел вида ,  в столбцах начинающихся вправо от нуля периода этих чисел. Возьмем число 1/64, нуль периода находится в столбце№6. Посмотрим вверх по столбцу №7, вверх идет числовой ряд, разность между соседними членами (числителями гармонических чисел) равна трем, этот ряд «обрывается» на числителе 1 простого гармонического 1/43. Столбец №8, то же самое, но здесь разность между соседними членами равна пяти, ряд обрывается на нечетном числе 1/51. Столбец №9, то же самое, но здесь разность между соседними членами равна девяти, ряд обрывается на нечетном числе 1/57. Столбец №10, первоначальная разность между соседними членами равна семнадцати, но на четвертом шаге закономерность обрывается. Теперь возьмем следующее за 1/64 особое число, это 1/128 и посмотрим на те же столбцы снизу вверх, здесь происходит сдвиг вправо на один столбец, но разности (между числителями) остаются те же 3, 5, 9, 17, добавляется разность 33 в столбце №12. Отсюда можно сделать вывод, что разности между числителями соседних гармонических чисел равна, но закономерность вверх по таблице не регулярна и ограничивается первыми столбцами.

Общий вывод следующий: слева-направо таблица 1 полностью определена (заполняема) периодами гармонических чисел, сверху-вниз и снизу-вверх частично определена особыми числами, являющимися своеобразными реперными точками, от которых идет «отсчет» вниз и вверх по начальным столбцам таблицы. 

 

1.6  Исчисление периодов нечетных гармоничексих чисел.

 

Первичными нечетными гармоническими числами являются простые гармонические числа, то есть числа, знаменатели которых простые числа:

 

В таблице 2 представлены полные периоды простых гармонических чисел от , до .

Периоды простых гармонических чисел (от , до ), таблица 2. (начало)

 

 

Периоды простых гармонических чисел (от , до ), таблица 2. (окончание)

Анализ таблицы 2 не приводит к каким либо закономерностям зависимости распределения простых чисел в натуральном ряду. Однако дает самую важную закономерность данной числовой системы размер периода любого простого гармонического числа определяется формулой:

Где r – числовой множитель, который всегда является четным числом.

Отсюда, любое простое число определяется периодом гармонического простого числа:

Из формулы (5) следует, что двойка простым числом не считается, поскольку для неё r = 1, что противоречит четности множителя r.

В соответствии с формулой (5) составляем таблицу 3, разбивая простые гармонические числа на интервалы, заключенные между числами вида .

Периоды простых гармонических чисел и их числовые множители (от , до ), таблица 3.

 

Какая-то закономерность распределения простых чисел в зависимости от особых чисел вида не прослеживается, кроме одной, начиная с промежутка 16-32 и далее 32-64, 64-128, … – удвоенное число простых чисел предыдущего промежутка, всегда больше числа простых чисел последующего промежутка (таблица 4):

 

Таблица 4.

 

Размер периодов степеней простых гармонических чисел определяются следующими формулами (таблица 5):

 

Таблица 5.

Например период числа равен:

 

Теперь проанализируем ситуацию с периодами чисел, которые являются произведениями различных простых гармонических чисел и их степеней. Получаем следующие формулы:

 

 

 

Формула (8) получается из формулы (7) с учетом равенства (6). Формула (9) является обобщением формулы (8) для случаев, когда простое гармоническое число имеет какую либо степень выше одного. Однако на базе данных формул невозможно построить самосогласованную алгебру исчисления периодов гармонических чисел, поскольку формула одна, а неизвестных в ней два t и r искомого составного нечетного гармонического числа. Необходимо искать дополнительное условие, а его нет, поскольку изначально даны только простые гармонические числа и их периоды (t) с числовыми множителями (r), а они в формулах  (7), (8), (9) уже есть.

 

Вернемся к таблице 3, мы видим, что в ней большинство простых гармонических чисел имеют числовой множитель r = 2, у остальных чисел отличен от двойки (4,6,8,10,12,14…), причем последовательное появление этих чисел в данном числовом ряду нерегулярно (без видимой закономерности). В чем причина?

 

Чтобы ответить на этот вопрос проанализируем структуру и периоды чисел вида  (таблица 6), некоторые из этих чисел являются простыми гармоническими, остальные разлагаются на произведение простых гармонических, но у всех этих чисел периоды равны показателю степени особого числа , для которых они являются соседними.

 

Числа вида ,  таблица 6.

 

 

Анализируя данные таблицы 7, можно ответить на выше поставленный вопрос: В чем причина нерегулярности простых гармонических чисел по размеру периода? Причина в том, что существуют особые числа вида . К примеру, почему у числа 1/17 период равен четырем, а не восьми, потому что число 1/17 идет за числом .

Общий вывод работы:  произведение любых простых гармонических чисел в результате даёт нечетное составное гармоническое число размер периода которого, без остатка делится на размер периода любого простого гармонического числа, входящего в исходное произведение получаемого нечетного гармонического числа. Однако автору не удалось построить согласованную алгебру умножения периодов гармонических чисел.

Главный вывод таблицы 7: свойства простых гармонических чисел определяются числами вида . А поскольку свойства всех остальных гармонических чисел зависят от свойств простых гармонических чисел, то роль особых чисел  в данной числовой системе является фундаментальной.

 

Целью данной работы было показать, как геометрическая модель приводит к функциональной зависимости, а та в свою очередь имеет выход в теорию чисел.

 

Что касается, собственно, числовой системы простых чисел относительно операции умножения. Можно найти какие-то свойства, критерии (например, тест простоты Люка — Лемера для чисел Мерсенна или формулы (7),(9) определенные выше), либо изучать поведение простых чисел в натуральном ряду приближенно (асимптотически), посредством функции распределения, но не более того. Поэтому остается признать, система простых чисел является открытой, следовательно, глобально (в целом) она непознаваема и поиск закономерности распределения простых чисел в натуральном ряду не имеет смысла, поскольку в открытых системах нет, и ничего не может быть повторяющегося. Ведь, что такое закономерность? Грубо говоря, это повторяющаяся взаимосвязь элементов Универсума, образованного первичными элементами и операцией взаимодействия между элементами…

Но не всё так безнадежно.

Простые числа, это первичные сущности данные нам судьбой, на базе открытой системы простых чисел и операции умножения можно создавать системы конечной степени сложности. Другими словами, можно взять конечное количество простых чисел (например, простых гармонических чисел с одинаковыми или кратными периодами), числа вида  и на базе них и операции умножения (и сложения) создавать числовые системы конечной степени сложности.

 

Что такое степень сложности системы? Сложность системы определяется минимальным числом элементов (конструктов) из которого можно построить весь Универсум элементов системы и все возможные конечные и бесконечные структуры системы. Например, чтобы построить множество натуральных чисел, достаточно одного элемента (конструкта) – положительной единицы и операции сложения. Данная система обладает конечной степенью сложности, хотя она потенциально бесконечна. Кроме того, такую систему можно назвать жестко детерминированной (причинной, закономерной), поскольку её можно упорядочить единственным образом. В открытой системе бесконечной степени сложности не может быть "единого принципа упорядочения", поскольку число элементов, из которого можно построить такую систему бесконечно. И говорить о детерминизме (причинности) в таких системах вообще не имеет смысла. Более того, такие системы непознаваемы в целом (как единое целое). Поскольку в них нет и быть не может ничего повторяющегося, что не соответствует реальности нашего Мира.

 

Мир является нам, как единое целое, — структурированная дискретно-непрерывная бесконечная система. Все внешние связи данной системы равны нулю (нейтральны), поэтому система является закрытой. Следовательно, и все её внутренние связи не должны противоречить связям внешним, то есть, быть глобально нейтральными, нулевыми (законы сохранения). При этом такая система может содержать в себе бесконечное множество подсистем (структур конечных и бесконечных) конечной степени сложности. Другими словами, необходимо ответить на вопрос – действительно ли бесконечное многообразие окружающего Мира возникает посредством конечного числа фундаментальных сущностей…

Именно конечность степени сложности структур окружающей реальности дает человеку надежду возможности построения фундаментальной науки. И актуальная бесконечность не является чем-то непреодолимым для человеческого разума, чем-то ставящим крест на познании Мира.

Мир познается в рамках существующей экспериментальной техники и существующей математики. При этом необходимо создать такую математическую систему, которая своей «актуальной бесконечностью» способна описывать любые вновь появляющиеся физические факты по мере развития экспериментальной техники. А просто набор, не связанных друг с другом единым образом (а порой и противоречащих друг другу) математических моделей описывающих различные физические процессы, не может называться фундаментальной наукой.

 

 

P.S. Следует также отметить, что дискретная рекуррентная числовая функция (2), определенная в начале работы (пункт 1.3):

 

Заменой   сводится к формуле:

Данная формула была введена  Д. Лемером (D.H. Lehmer) в 1949 году при разработке генератора случайных чисел. Предложенный им генератор носит название линейного конгруэнтного метода (linear congruential method) и используется в программировании.

 

 

Сайт управляется системой uCoz

 



Сайт управляется системой uCoz